Ödev Blogu: Geometri

GEOMETRİK CİSİMLER NELERDİR?

PİRAMİT:
Bir dik piramidin hacmi, tabanı ve yüksekliği piramidin tabanı ve yüksekliğine eş olan dik prizmanın hacminin üçte birine eşittir.

Piramidin temel elemanları tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir. Piramidin tepe noktasından taban düzlemine inen dikme veya bu dikmenin uzunluğu piramidin yüksekliğidir.
Tepe noktasını taban merkezine (ağırlık merkezine) birleştiren doğru parçası tabana dik ise piramide dik piramit, eğik ise eğik piramit denir. Piramitler, tabanlarını oluşturan çokgensel bölgelere göre üçgen dik pirami, kare eğik piramit vb. şeklinde adlandırılır.
Dik piramitlerin yüzey alanı, taban alanı ile yan yüzlerini oluşturan üçgensel bölgelerin alanları toplanarak bulunur.

KONİ:

Koninin temel elmanları; bir daire olan taban, tabanın dışında bir tepe noktası, tepe noktasını taban merkezine birleştiren doğru parçası olan eksen, tepe noktasından geçen ve tabanın çevresini oluşturan çembere dayanan bir doğrunun süpürdüğü yanal yüzey, bu doğrudan ibaret olan ana doğru (doğuran) 'dur.
Ekseni tabana dik olan koni dik koni (veya dönel koni), eğik olan koni eğik koni olarak adlandırılır.
Dik koninin yanal yüzü, bir dairenin belirli bir merkez açısıyla elde edilen sektörüdür. Koninin tabanı, çevresini uzunluğu bu sektörün yay uzunluğuna eşit olan dairedir.

Dik dairesel koninin yüzey alanı, koninin yanal yüzey alanı ile taban alanı toplanarak bulunur.
Sektörün alanı demek daire diliminin alanı demektir.
Bir dönel koninin düzlemlerle arakesitine, konikler adı verilir. Herhangi bir koni, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, düzlemle taban arasında kalan kısma kesik koni denir.
$V , = , frac{1}{3} cdot pi cdot r^2 cdot h$

KÜRE:

Kürenin temel elemanları; bir merkez noktası, bu merkez noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu yüzey ve yüzeyin herhangi bir noktasını merkeze birleştiren doğru parçası (yarıçap) 'dır.
Özel bir küre, merkezi ve yarıçapı dikkate alınarak hesaplanır.
Merkezden geçen düzlemlerle kürenin ara kesiti olan dairenin çapı aynı zamanda kürenin çapıdır.
Merkezinden geçen düzlemlerle küre yüzeyinin ara kesitine büyük çemberler adı verilir.
Kürenin büyük dairesi, kürenin merkezini içine alan veya merkezinden geçen dairedir. Kürenin yüzey alanı, kürenin en büyük dairesinin alanının 4 katına eşittir.
En büyük çemberin yarıçap uzunluğu r olan bir kürenin hacmi, taban yarıçapı r ve yüksekliği 2r olan dik silindirin hacminin 2/3 üne eşittir.

Formüller

(İki boyutlu, standart) bir küre için kimi formüller:

Küre formülleri
Hacim	$V , = , frac{4}{3} pi r^3$
Projeksiyon Alanı	$A_{PF} , = , pi r^2$
Küre parçasının hacmi	$V_{KS} , = , frac{h^2 pi}{3} (3r - h)$
Yarıçap	$r,$
Yükseklik	$h,$
Atalet momenti	$J , = , frac{2}{5} mr^2$

SİLİNDİR:

Silindir geometrik bir cisimdir.

Hacmi: $V = pi cdot r^2 cdot h$

Yüzey alanı: $A = 2 pi r^2 + 2 pi r h = 2 pi r ( r + h ).,$

Bir dikdörtgenin bir kenarı etrâfında döndürülmesiyle elde edilir. Bu silindire dik veya eğik silindir denir. Alt ve üst tabanı dâiredir. Soba borusu dik silindire bir örnektir.
Matematikte silindirin genel tanımı şöyledir: Düzlemsel bir eğriyle bu eğrinin düzleminde bulunmayan bir doğru verildiğinde, dâimâ bu doğruya paralel kalmak şartıyla eğriye dayanarak hareket eden bir doğrunun taradığı yüzeye silindirik yüzey denir. Bu silindirik yüzeyle, bu yüzeyi kesen paralel iki düzlemin sınırladığı cisme silindir denir. Silindir yüzeyini meydana getiren doğrulardan herbirine ana doğru denir.
Silindire, taban eğrisine göre isim verilir. Eğri dâireye Şişe dâirevî silindir, elipse ise eliptik silindir denir. Silindirik yüzey için taban eğrisinin kapalı olması gerekmez. Parabolik silindir, hiperbolik silindir, birer silindirik yüzeydir. Dairevî silindirin ana doğrusu tabana dik değilse böyle silindire eğik silindir denir.
Taban yarıçapı “r”, yüksekliği “h” olan bir dik silindirin alan ve hacim formülleri şöyledir:
Yan alan: Y=2πrh
İki taban alanı: 2A=2πr2
Bütün alanı: S=Y+2A=2πrh+2πr2=2πr (h+r)
Hacmi: V= π r2. h
Bayındırlıkta: Bir şasiye monte edilmiş, tekerlek vazîfesi gören bir veya birkaç büyük mâdenî silindirden meydana gelen ve toprağı, şaseleri kaplayan malzemeyi sıkıştırmak ve ezmek için kullanılan, dökme demirden yapılmış büyük ağırlığa, şeklinden dolayı silindir adı verilir.
Otomobilde, tekstil ve kâğıt sanâyiinde çeşitli silindirler kullanılmaktadır.

GEOMETRİ FORMÜLLERİ

Üçgenler,üçgende açı kenar ilişkileri,üçgen çeşitleri,üçgende alan,çember ve daire,benzerlik teoremleri,çokgenler,dörtgenler ve daha birçok geometri formülleri yer almaktadır.

www.matematikcifatih.tr.gg

GEOMETRİK CİSİMLERİN ALANLARI NASIL HESAPLANIR?

KARE'NİN ALANI:
A = a.a
(a karenin bir kenarı)

örnek: Bir kenarının uzunluğu 2cm olan karenin alanını bulunuz.
A= 2.2= 4cmkare(cm2)

DİKDÖRTGEN'İN ALANI:
A = a.b
(a kısa kenarı, b uzun kenarı)

örnek: Uzun kenarı 7cm ve kısa kenarı 4cm olan dikdörtgenin alanını bulunuz.
A= 4.7= 28cmkare

YAMUK'UN ALANI:
A = (a+c).h / 2
(a alt taban uzunluğu, c üst taban uzunluğu, h yükseklik)

örnek: Alt taban kenarı 7cm, üst tabanı 5cm ve yüksekliği 6cm olan yamuğun alanını bulunuz.
A= (7+5).6/2= 12.6/2= 72/2= 36cmkare

PARALELKENAR'IN ALANI:
A = a.h
(a taban kenarı, h tabana inen yükseklik)

örnek: Tabanı 8cm ve tabana inen yüksekliği 5cm olan paralelkenarın alanını bulunuz.
A= 8.5= 40cmkare

EŞKENAR DÖRTGEN'İN ALANI:
A = e.f / 2
(e ve f eşkenar dörtgenin köşegenleri)

örnek: Köşegen uzunlukları 5cm ve 6cm olan eşkenar dörtgenin alanını bulunuz.
A= 5.6/2= 30/2= 15cmkare

KÜP'ÜN ALANI:
A = 6.a.a
(a küpün bir kenarının uzunluğu)

örnek: Bir ayrıtının uzunluğu 3cm olan küpün alanını bulunuz.
A= 6.3.3= 54cmkare

DİKDÖRTGENLER PRİZMASI'NIN ALANI:
A = 2( a.b + a.c + b.c)
(a en, b boy, c yükseklik)
(kibrit kutusu)

örnek: Boyutları 1cm, 2cm, 3cm olan dikdörtgenler prizmasının alanını bulunuz.
A= 2(1.2+1.3+2.3)= 2(2+3+6)= 2.11= 22cmkare

KARE PRİZMA'NIN ALANI:
A = yanal alan + 2.taban alan
A = 4.a.b + 2.a.a
(a kare olan tabanın bir kenarı, b yükseklik)

örnek: Taban kenarı 2cm ve yüksekliği 3cm olan kare prizmanın alanını bulunuz.
A= 4.2.3+2.2.2= 24+8= 32cmkare

SİLİNDİR'İN ALANI:
A = yanal alan + 2.taban alan
A = 2.π.r.h + 2.π.r.r
(π=3,14 alırız, r taban yarıçapı, h yükseklik)

örnek: Taban yarıçapı 1cm ve yüksekliği 4cm olan silindirin alanını bulunuz.(π=3)
A= 2.3.1.4+2.3.1.1= 24+6= 30cmkare

DİK PRİZMALAR
Küp, Kare Prizma, Dikdörtgenler Prizması, Üçgen Prizma

DİK PRİZMALARIN YÜZEY ALANI:
A= 2.(taban alanı) + (yükseklik).(tabanın çevre uzunluğu)

örnek: Taban alanı 24 cmkare, yüksekliği 9cm, taban çevresi 24 cm olan üçgen dik prizmanın yüzey alanını bulunuz.
A= 2.(24) + (9).(24)
A= 48 + 216 = 264cmkare

GEOMETRİK CİSİMLERİN ALANLARI TEST SORULARI

1. Kısa kenarı 23 m, uzun kenarı 25 m olan tarlanın alanı kaçtır?

A)250
B)275
C)575
D)460

2. Bir ayrıtının uzunluğu 8 cm olan karenin alanı kaçtır?

A)8
B)32
C)16
D)64

3. Alt tabanı 3 cm, üst tabanı 1 cm,yüksekliği 4 cm olan yamuğun alanı kaçtır?

A)4
B)8
C)16
D)20

4. Bir ayrıtının uzunluğu 3 cm olan küpün alanı kaçtır?

A)12
B)27
C)18
D)36

5. Tabanı 12 cm ve yüksekliği 5 cm olan paralelkenarın alanı kaçtır?

A)60
B)48
C)24
D)10

6. Alanı 24 santimetrekare olan eşkenar dörtgenin köşegenlerinden birini uzunluğu 6 cm olduğuna göre diğer köşegeni kaçtır?

A)4
B)6
C)8
D)12

7. Boyutları 2 cm, 3 cm, 4 cm olan dikdörtgenler prizmasının alanı kaçtır?

A)24
B)32
C)40
D)52

8. Taban ayrıtı 4 cm,yüksekliği 6 cm olan kare prizmanın alanı kaçtır?

A)10
B)11
C)15
D)17

9. Dik prizmaların yüzey alanının formülü nedir?

A)axbxc
B) (taban alanı)x(yükseklik)
C) 2.(taban alanı) + (yükseklik).(tabanın çevre uzunluğu)
D)(a+b+c)xh

10. Taban yarıçapı 3 cm,yüksekliği 5 cm olan silindirin alanı kaçtır? (π=3)

A)144
B)196
C)204
D)264

CEVAPLAR:

1)C       6)C
2)D       7)D
3)B        8)B
4)B        9)C
5)A        10)A

Uzunluk ve Alan Ölçüleri

Metrik sistemde, aşağıdaki uzunluk ölçülerini kullanırız. Milimetre (mm), Santimetre (cm), Metre (m) ve Kilometre (km).

10 mm= 1cm
100cm= 1m
1000m=1km

Çevre
Şeklin dış çevresinin uzunluğudur. Şeklin çevresini bulmak için kenarlarının uzunluklarını toplarız.
Örnek:

1) ABCD dikdörtgeninin çevresini hesaplayınız.

Çevre=15+15+8+8 = 46cm

Not: “a” uzun kenarı, “b” kısa kenarı ve “Ç”çevre uzunluğunu göstermek üzere, dikdörtgenin çevresi,

Ç=2a + 2b

2) Aşağıdaki şeklin çevresini hesaplayınız.

Ç=5+5+3+3+2+2+10 +4 = 34cm

Not: Bu örnekde toplam 4 cm olan iniş ve çıkışı hesaplamalıyız. (2+2=4). Diğer bilinmeyen kenar uzunlukları olan 2cm ve 5cm şekilden bulunabilir.can be found from the shape.

Alan

Alan, şeklin içinde kalan bölgedir. Şeklin içini karelere böler ve bu kareleri sayarsak şeklin alanını buluruz. Kenarları 1 cm olan birim kareleri kullanırsak, 1 cm 2 'lik birim kareler ile alanı bulabiliriz

Düzensiz(doğrusal olmayan) şekiller kareli yüzeyde çizilir ve kapladığı kareler sayılır.Parçalı kareler tam bir kare olacak şekilde birleştirilir.

Örnek:
Aşağıda verilen şeklin alanını bulunuz:

Alan = 3½ kare

Düzgün şekiller örneğin üçgenler, dikdörtgenler ve deltoidler. Bunların, alanlarını hesaplayabileceğimiz formülleri vardır.

Dikdörtgenin Alanı

Alan=kısa kenar x uzun kenar

Örnek:
ABCD dikdörtgeninin alanını hesaplayın.

Alan=15 x 8= 120cm2 (Alanın ölçüsü cm2 cinsindendir.)

Üçgenin Alanı

Alan = ½ x Taban x Yüksekik,

Örnek:

ABC üçgeninin alanını hesaplayınız.

Alan=1/2 x 10 x 6= ½ x 60 = 30cm2
(Not: 10 x 60 tabanı BC olan dikdörtgenin alanını verir, üçgenin alanı bunun yarısıdır).

Paralelkenarın Alanı

Alan = Taban x Yükseklik

Örnek:
PQSR paralelkenarının alanını hesaplayınız.
Alan = 10 x 6 = 60cm 2
Eşkenar Dörtgenin ve Deltoidin Alanı

Alan = ½ (köşegenlerin çarpımı)

Örnek:
ABCD deltoidinin ve LMNO eşkenar dörtgeninin alanını hesaplayınız.

A(ABCD) ve A(LMNO) = ½ x 10 x 6 =30cm2
Yamuğun Alanı
Alan = ½(alt taban+üst taban) x yüksekilk
Örnek:
ABCD yamuğunun alanını hesaplayınız.

Alan = ½ (10+20) x 5 = ½ x 30 x 5 = 75cm2
Not: Bazende problemlerde alan ölçüsü verilir ve herhangi bir uzunluk ölçüsü sorulabilir.
Örnek:
Alanı 20cm 2 olan PQR üçgeninin QR kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

20 = ½ x 4 x QR
20 = 2 x QR
QR = 10cm
Birleşik Şekiller
Bazı problemlerde verilen şekli bazı düzgün şekiller biçiminde bölmek gerekebilir. Alanları toplayarak veya çıkartarak bize verilen şeklin alanını buluruz.
Örnek:
a) Tüm şeklin alanını
b) Taralı şeklin alanını hesaplayınız.

a) Toplam alan = Alan A + Alan B
=(2x3) + (5x10)
= 6+50
= 56cm2

b) Taralı alan = 56 – (2x2)
= 52cm2

Sayfalar

Geometri

GEOMETRİK CİSİMLER NELERDİR?

Formüller

Dost Siteler